La regla del producto para derivadas establece que si tienes dos funciones \( u(x) \) y \( v(x) \), entonces la derivada del producto \( u(x) \cdot v(x) \) con respecto a \( x \) se puede calcular mediante la fórmula:
\[(uv)’ = u’v + uv’\]
Aquí hay una explicación paso a paso de la demostración de esta regla:
Dadas dos funciones \( u(x) \) y \( v(x) \), consideramos la función \( f(x) = u(x) \cdot v(x) \).
1. Expresión del cambio infinitesimal en el producto:
Considera un pequeño cambio en \( x \), denotado por \( \Delta x \). Entonces, el cambio en \( f \) debido a \( \Delta x \) es aproximadamente igual a la suma de dos términos:
\[ \Delta f \approx u(x + \Delta x) \cdot v(x + \Delta x) – u(x) \cdot v(x) \]
2. Expandir y simplificar:
Expandimos el producto y simplificamos términos semejantes:
\[ \Delta f \approx u(x + \Delta x) \cdot v(x + \Delta x) – u(x) \cdot v(x) \]
\[ \Delta f \approx u(x + \Delta x) \cdot v(x + \Delta x) – u(x) \cdot v(x + \Delta x) + u(x) \cdot v(x + \Delta x) – u(x) \cdot v(x) \]
3. Dividir por \( \Delta x \) y tomar el límite cuando \( \Delta x \) tiende a cero:
\[ f'(x) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{u(x + \Delta x) \cdot v(x + \Delta x) – u(x) \cdot v(x + \Delta x) + u(x) \cdot v(x + \Delta x) – u(x) \cdot v(x)}{\Delta x} \]
4. Reorganizar términos y factorizar:
\[ f'(x) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{u(x + \Delta x) \cdot v(x + \Delta x) – u(x) \cdot v(x + \Delta x)}{\Delta x} + \frac{u(x) \cdot v(x + \Delta x) – u(x) \cdot v(x)}{\Delta x} \]
Factorizamos \( u(x + \Delta x) \) en el primer término y \( v(x) \) en el segundo término.
5. Usar el límite y definición de derivada:
Aplicamos el límite cuando \( \Delta x \) tiende a cero y reconocemos las definiciones de las derivadas de \( u \) y \( v \):
\[ f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \]
Este es el resultado de la demostración, y es la regla del producto para derivadas. La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función multiplicada por la segunda, más la primera función multiplicada por la derivada de la segunda.