La regla de la derivada de composición es esencial en cálculo y nos permite encontrar la derivada de una función compuesta. Este artículo proporcionará una explicación detallada y paso a paso de la demostración de esta regla fundamental.
La derivada de una función compuesta, también conocida como regla de la cadena, es crucial para analizar y entender cómo cambian las funciones que están compuestas por otras funciones. La regla establece que si tienes dos funciones \(f(x)\) y \(g(x)\), entonces la derivada de su composición \(f(g(x))\) se puede calcular mediante la fórmula:
\[(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]
Vamos a explorar cada paso de la demostración para comprender por qué esta regla es válida.
Paso 1: Expresión del Cambio Infinitesimal en la Composición:
Comencemos considerando un cambio infinitesimal en \(x\), denotado como \(dx\). El cambio en \(f(g(x))\) debido a \(dx\) se puede expresar como:
\[ \Delta (f \circ g) \approx f(g(x + dx)) – f(g(x)) \]
Paso 2: Expandir y Simplificar:
Expandimos la expresión utilizando la definición de la composición:
\[ \Delta (f \circ g) \approx f(g(x + dx)) – f(g(x)) \]
\[ \Delta (f \circ g) \approx f(g(x + dx)) – f(g(x + dx)) + f(g(x + dx)) – f(g(x)) \]
Paso 3: Dividir por \(dx\) y Tomar el Límite:
Dividimos por \(dx\) en ambos lados de la ecuación y tomamos el límite cuando \(dx\) tiende a cero:
\[ (f \circ g)'(x) = \lim_{{dx \to 0}} \frac{f(g(x + dx)) – f(g(x + dx))}{dx} + \lim_{{dx \to 0}} \frac{f(g(x + dx)) – f(g(x))}{dx} \]
Paso 4: Reconocer las Derivadas de \(f\) y \(g\):
Reorganizamos la expresión y reconocemos las definiciones de las derivadas de \(f\) y \(g\):
\[ (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
Hemos demostrado la regla de la derivada de composición paso a paso. La clave para entender esta regla radica en desglosar el cambio en la composición en términos de los cambios en las funciones internas y aplicar los límites. La regla de la cadena es una herramienta fundamental en el cálculo y se aplica en una amplia variedad de contextos matemáticos y científicos.